图像加密算法之对角线拉伸混沌映射加密

根据双边对角线拉伸的思想，我们提出一种利用图像加密的可逆二维混沌映射。该映射由左映射和右映射2个子映射组成，该方法通过对图像的拉伸和折叠处理，来实现图像文件的混沌加密。

一、二维混沌映射原理和算法

二维混沌映射利用了图像的一个重要性质：像素能够插入到其他像素间。设图像大小为N×N，通过映射首先将原图像拉伸为长N2的直线，然后再折叠成N×N的图像，如图1所示。

1、左映射算法 

设A(i，j)，i，j=0，1，2，…，N-1，为图像中任意一点；l(i)，i=0，1，...，N2-1，t为将A(i，j)拉伸后的一维向量。如图1(a)所示，左映射算法为：

当i+j<N、i>j时，有：

当i+j<N、i≤j时，有：

当i+j≥N、i<j时，有：

当i+j≥N、i≥j时，有：

2、右映射算法

右映射算法既可以直接推导得到，也可以通过下列过程得到：

1)将原图像作一次镜像。设A，表示镜像后的图像，有：

式中i=0，1，2，…，N一1；j=0，1，2，...，N-1。

2)使用算法(1)～(4)，得到右映射算法。

3、折叠算法

式中，i=0，1，2，…，N一1；j=0，1，2，：…，N-1。

二、图像文件加密、解密算法

由于映射可分为左映射和右映射。将左映射和右映射的映射次数设计为密钥Key。如Key=1234，表示图像依次左映射1次，右映射2次，然后用左映射3次，最后用右映射4次。为了保证加密效果，每一个部分密钥值都小于10。加密算法如图2所示，其中Ki及K2分别是密钥Key的一部分，可以相同或可互相推导得到，函数F(K)为密钥的函数，输出为扩散函数的参数。

图像文件加密算法所采用的扩散函数为：

式中：νk是指每一个像素的值；v'k为扩散后的像素值；v-1=F(K2)，G（v'k一1）=5×v'k一1；256灰度图，L=256。

图像加密算法分为3步：

1)利用密钥Ki及算法(1)～(5)，将图像A(i，j)拉伸成一条直线l(i)，i=0，1，...，N2 -1。

2)利用算法(6)，将直线折叠得到置乱图像B(i，j)。

3)利用密钥K2及扩散函数，对置乱函数进行处理得到密图。

图像解密算法与加密算法相反，如图3所示。解密密钥与加密密钥相同，因此该加密算法为对称加密算法。

三、加密实例和安全性能分析

如图4所示，对Lena 256灰度网进行加密。为了研究二维混沌映射的加密效果，首先令K2 =0，即不使用扩散函数。此时，加密系数仅仅置乱图像，没有改变图像的像素值（直方图不
变）。当Key=1时，图像已没有原图特征；当Key=1234567890123456时，密图像素平均分布，加密效果良好。

1、安全性能分析

（1）密钥空间分析

由于最基本、最流行的破解方法是对密钥进行穷尽搜索，密钥空间大是加密算法安全的前提。图像加密算法的密钥空间（无扩散函数）如表1所示。研究表明，密钥空间大小只和密钥长
度有关，在理想情况下（计算速度允许），可认为密钥能无限增加。

（2）密钥敏感度

当加密密钥Key=1234567890123456加密时，用解密密钥Keyi=1234567890123455和Key2 =1234567890123457分别解密。如图5所示，即使加密密钥和解密密钥仅1位有最小的差异，也无法解密图像，证明对密钥差异非常敏感。

（3）统计分析

由于图像相邻像素间具有很强的相关性，如果密图相邻像素间相关性变小，说明密图安全性变强。图6为（x，y）和(x+1，y）的关系，原图的相关系数为0. 9442，加密后的相关系数为0. 0054，证明密图相邻像素间相关度接近于零。其他相邻点的相关系数如表2所示，说明密图相邻像素间相关性很小。

2、扩散算法

因为仅对图像进行置乱是不安全的，很难抵御明文攻击。为了增强加密算法的安全性，增加扩散函数，见式(7)，其中v-1 =F(K2) =150。加密后，密图和直方图分别如图7所示。

在增加了扩散机制后，对原图像只有1个像素点有差异的2个密图进行NPCR(number 0f pixels change rate)和UACl(unified average changing intensity)分析。如图8和图9所示，当
加密次数n=2时，NPCR≈I。在参数不变的情况下，2个仅有1个像素不同的图像，随着加密次数的增加，密图变得完全不同，2个原图的差别扩散到密图的整个区域，说明扩散效果良好。

四、与其他混沌加密技术的比较

和混沌流密码比较，该加密算法具有加密速度快、可移植性强的特点，由于并非直接使用伪随机混沌流掩盖明文，而是首先采用二维混沌映射置乱像素，然后利用扩散算法改变像素值。因此，从一定程度上避免了因为动力学特性退化问题带来的安全隐患，加密前后没有信息损失、移植性高，加密方法简单，易于软件、硬件实现。

和其他混沌映射比较，具有：

1）更大的密钥空间，如Baker map最大为2N-1 (N为图像的宽)，而该加密的密钥空间理论上只和密钥长度有关，只要计算速度允许，密钥长度可随之增加。

2）对密钥变化更敏感i该算法将密钥设计为整个图像拉伸、折叠的数目，因此只要密钥稍有变化，密图就会截然不同。但其他二维混沌映射基本都将图像分块的数目设计为密钥，拉伸、折叠操作都是对部分图像进行的。因此，用相似的密钥可以解密密图，降低了加密安全性。

3）加密算法更加简单、清晰，易于实现。如Baker map 一般形式下的算法具有非常复杂的形式，而该加密算法非常简单，易于实现。

4）加密速度快，能够实现实时加密。

在一台PentiumⅢ（M）1.13 GHz的笔记本电脑上仿真表明，未优化的二维混沌映射的vc程序，运行速度约为3 Mbps。能满足实时文件加密需要。该混沌映射也能应用于数字水印等领域。