基于Logistic混沌序列的灰度图像加密算法

随着Internet技术与多媒体技术的飞速发展，多媒体通信逐渐成为人们进行信息交流的重要手段。与此同时，图像数据的安全性变得越来越重要。在各种不同的图像加密技术中，基于混沌理论的加密技术，正成为图像加密研究的热点。那么我们以Logistic混沌系统为基础，提出了一种新的图像加密算法，通过实验分析表明，该算法具有良好的加密性能。

一、Logistic混沌系统

混沌是一种非线性动力学规律控制的行为，表现为对初始值和系统参数的敏感性、白噪声的统计特性和区间遍历特性，具有很好的密码学特性。

一个一维离散时间非线性动力系统定义如下：

其中，xk∈V（k=0，1，2，…），称为状态；而τ：V→V是一个映射，将当前状态xk映射到下一个状态xk+1。如果从一个初始值x0开始，反复应用τ就得到一个序列{xk}，k=0，1，2，…，这一序列称为该离散时间动力系统的一条轨迹。

一类非常简单却被广泛研究的动力系统是Logistic映射，其定义如下：

其中，0≤μ≤4称为分枝参数，xk∈（0，1），定义同上。混沌动力系统的研究工作指出，当3.5699456…<μ≤4时，Logistic映射工作于混沌态。也就是说，由初始条件x0在Logistic映射的作用下所产生的序列{xk}，k=0，1，2，…是非周期的、不收敛的并对初始值非常敏感。对于一般的混沌映射xk+1=f（xk），概率密度ρ（x）可由Perron-Froenious方程得到，即：

当μ=4，则Logistic映射所生成的序列的概率分布函数为：

Logistic映射所产生的混沌序列轨迹点的均值是：

对于相关性，独立选取两个初始值x0和y0，则相应序列的互相关函数为：

而序列的自相关函数值趋向于0，类似于δ函数，接近白噪声的特征。

Logistic序列的以上特性表明，尽管混沌动力系统具有确定性，但其遍历统计特性接近于白噪声，并具有形式简单，对初始条件敏感等诸多特性。

二、基于混沌序列的异或矩阵

1、异或矩阵的构造

由于灰度图像一般为256级，其值在0~255之间，为此，要将混沌序列做一些适当的修正，把（0，1）区间上的值映射到集{0，1，2，…，255}，这可由MATLAB7.0中的floor（）函数来完成，即：

其中xi是由式（1）通过迭代所得到的混沌序列，floor（）函数为向负方向舍入取整函数。这样，由混沌实数列和floor（）函数可得到整数序列x′1，x′2，x′3…其中xi′∈{0，1，2，…，255}，i=1，2，…。

对于给定异或矩阵的大小m1×n1（m1、n1为大于1的整数）和给定的正整数k，在所得的整数列x′1，x′2，x′3…中依次选取x′k+1，x′k+2，…，x′k+m1×n1，并将它们按长度n1逐段截取，排成加密矩阵Pkm1×n1，其中pi，j∈{0，1，2，…，255}，i=1，2，…，m1；j=1，2，…，n1。

2、利用异或矩阵对图像加密/解密

异或加密算法可看作如下函数：

其中，Cm1×n1为待加密矩阵，Pkm1×n1为异或矩阵，“+”为两个矩阵中对应像素值的逐比特异或运算。异或解密算法可看作如下函数：

三、基于混沌序列的置换矩阵

1、置换矩阵的构造

对于给定置换矩阵的大小m2×n2（m2、n2为大于1的整数）和给定的正整数k，在整数列x′1，x′2，x′3…中依次选取x′k+1，x′k+2，…，x′k+m2×n2，组成一个长度为m2×n2的序列，对此序列按从小到大的顺序进行排序，由各个元素位置的变化可以得到一个排序置换，此置换可以在MATLAB7.0中利用排序函数“sort（）”直接得到，其长度为m2×n2，将此置换序列按长度n2逐段截取，并排成置换矩阵Zkm2×n2，其中zi，j∈{1，2，3，…，m2×n2}，i=1，2，…，m2；j=1，2，…，n2。

2、置换方法置换算法

可简单地看作如下函数：

其中，Am2×n2为待加密矩阵，Zkm2×n2为置换矩阵，在Zkm2×n2中，若zi，j=r，且r=p×n2+q，则将Ap，q的值赋给Bi，j，其中i=1，2，…，m2；j=1，2，…，n2；p∈{0，1，…，m2-1}，q∈{1，2，…，n2}，r∈{0，1，2，…，m2×n2}。

四、基于混沌序列的图像加密/解密算法

1、加密算法算法步骤如下

（1）选取密钥K=（x0，μ0，k1，k2，m1，n1，m2，n2），其中，x0∈（0，1），3.5699456…<μ0≤4；k1、k2、m1、n1、m2、n2均为正整数，且m1与m2不能互相整除，n1与n2不能互相整除，令k=k1；

（2）对于一个图像的像素矩阵F，令M=mul（m1，m2），N=mul（n1，n2）（其中mul（x，y）表示x与y的最小公倍数），在图像矩阵的边界填充像素值255（白色），增加F的行数和列数，使它们分别是M和N的整数倍，设生成的图像像素矩阵为F1；

（3）利用密钥和Logistic映射分别产生异或矩阵Pkm1×n1和置换矩阵Zkm2×n2；

（4）将像素矩阵F1按m1×n1的大小进行分块，并利用异或矩阵Pkm1×n1进行逐块加密，将得到的加密分块再组合成像素图像，设其为F2；

（5）将像素矩阵F2按m2×n2的大小进行分块，并利用置换矩阵Zkm2×n2进行逐块置换，将得到的加密分块再组合成加密图像，设其为G；

（6）令k=k2，重复步骤（3）~（5）。

2、解密算法

解密算法是加密算法的逆运算，在解密算法中，首先令k=k2，异或矩阵与加密中的异或矩阵相同，置换矩阵是加密算法中置换矩阵的逆置换，在解密图像的过程中，先进行置换运算，再进行异或运算。

五、仿真实验及算法分析

1、仿真实验

利用MATLAB7.0软件，结合上述算法，对“lena.jpg”图像进行了加/解密的仿真实验，密钥选取为：K=（0.78354，4，10000，20000，50，50，8，8），结果如图1所示。

图1中，图像“jiamihou.jpg”为图像“lena.jpg”的加密结果，显然已看不出图像“lena.jpg”的任何信息，加密取得了较好的效果；图像“jiemihou.jpg”为对图像“jiamihou.jpg”的解密结果，通过比较得知，两个图像的像素值完全相同，说明文中提出的加密算法没有任何信息丢失；图像“cuomiyao.jpg”为x0=0.78355时的解密结果，显然，对于x0仅仅相差0.00001时，由解密结果得不到图像“lena.jpg”的任何信息，说明该算法对x0具有高度的敏感性。

2、算法分析

（1）该算法的密钥为K=（x0，μ0，k1，k2，m1，n1，m2，n2），x0可以取值于（0，1）之间的任何值，其密钥空间无穷大，μ0、k1、k2、m1、n1、m2、n2的不确定，更极大地增加了密钥空间，从而，对密钥K的穷举攻击变得不可行。

（2）算法中异或矩阵的使用，较好地增强了图像加密效果，但是异或矩阵的安全性很低，经不起唯密文攻击，更经不起已知或选择明文攻击；然而，置换矩阵对攻击者来说是未知的，故它具有较强的抗差分攻击和抗线性攻击的能力，从而较好地增强了整个算法的安全性；异或矩阵和置换矩阵的先后使用，使得整个加密算法既有较好的加密效果，又有较强的安全性。

（3）k1、k2的不同，使得两个异或矩阵各不相同，进一步增强了对图像文件加密的效果；而它们的不同也使得两个置换矩阵各不相同，从而极大地提高了整个算法的安全性。

以混沌理论为基础，文章利用Logistic混沌映射给出了一种灰度图像加密算法，通过仿真实验和分析表明，该算法具有较好的加密效果和较强的安全性。