使用过公钥加密算法的朋友们都知道,公钥加密算法的核心是寻找陷门单向函数,利用该函数求逆的不可行性,对发送的消息进行加密,从而实现通信的保密和网络安全。鉴于上述原因,我们根据数学难题“哥德巴赫猜想”设计出了一种新的公钥加密算法,下面我们就给大家介绍一下这种基于哥德巴赫猜想的公钥加密算法。
基于哥德巴赫猜想的公钥加密算法
一、基于哥德巴赫猜想的公钥加密算法描述
一个函数,若计算函数值很容易,并且在缺少一些附加信息时计算函数的逆是不可行的,但是已知这些附加信息时,可在多项式时间内计算出函数的逆,那么我们称这样的函数为陷门单向函数。
定义陷门单向函数是满足下列条件的一类不可逆函数fk:
(1)若k和X已知,则容易计算Y=fk(X)
(2)若k和Y已知,则容易计算X=fk-1(Y)
(3)若Y已知但k未知,则计算出X=fk-1(Y)是不可行的。
哥德巴赫提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成功。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的明珠 。
本文设计的公钥密码算法是基于哥德巴赫猜想,即假设哥德巴赫猜想成立,任何一个大于等于6的偶数,都可以表示成两个奇素数之和。给定一个大偶数,要求该偶数是由哪两个素数组成的,是很困难的。利用该特性,设计该公钥加密算法。
二、基于哥德巴赫猜想的公钥加密算法如下
(1)随机选择大素数p、大素数q;
(2)求N=p+q,判断p与N是否互质,如果互质则执行第(3)步;否则返回第(1)步;
(3)由aN+bp=1得到整数a,b;其中一个为负数;
定理1:如果两正整数p,q互质,则可以找到两个整数a,b,使得ap+bq=1。显然,两个素数一定是互质的。
(4)所得的公钥PUb为{N,b},私钥PRb为{p};
(5)发送端发送明文M时,利用公钥{N,b}进行加密,则加密可表示为:C=(b_M)modN,其中C为密文;
(6)接收端接收密文C时,利用私钥{p}进行解密,则解密可表示为:M=(p_C)modN。下面以具体示例介绍该算法的加密、解密过程。
三、基于哥德巴赫猜想的公钥加密算法的加密、解密过程
(1)随机选择素数p=3,q=5。
(2)则N=p+q=3+5=8;且满足p与N互质的条件;
(3)由aN+bp=1,求出a=2,b=-5;
(4)所得的公钥PUb为{8,-5},私钥PRb为{3};
(5)当发送端发送明文M=7时,可利用公钥PUb={8,-5}加密,则加密过程为:C=(b_M)modN=(-5_7)mod8=-35mod8=5
说明:定义整数x除以正整数n所得的余数为x模n,则可以写出x=x/n_n+(xmodn)。
(6)接收端利用PRb={3}对密文C进行解密,解密过程为:M=(p_C)modN=(3_5)mod8=(3_5)mod8=7
这说明加密前的明文M和解密后的消息M是一致的。
四、基于哥德巴赫猜想的公钥加密算法证明
设发送端发送的明文为M,加密后的密文为C。已知N=p+q,其中p、q为素数,且p与N互质。
证明:由M=(p_C)modN可得M#p_C(modN) (1)
因为C=(b_M)modN,则可将上式转化为如下形式:
M#(b_p_M(modN))(modN) (2)
因为aN+bp=1,则将(2)转化为如下形式:
M#((1-aN)_M(modN))(modN)M#((M-aNM)(modN))(modN) (3)
由模算术性质,则可将(3)转化为如下形式:
M#((MmodN)-(aNMmodN))(modN)M#(MmodN)(modN)
在实际加密过程中,可将消息M拆分为若干等分(如以字节为存储单位),则M必定远远小于N,所以解密后的M’和加密前明文M的一定是相同的。
小知识之哥德巴赫猜想:
在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想:任一大于2的整数都可写成三个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定,原初猜想的现代陈述为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本,即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立,即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和,或是一个素数和一个半素数的和"。
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