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FFT算法除了必需的数据存储器ram和旋转因子rom外，仍需较复杂的运算和控制电路单元，即使现在实现长点数的FFT仍然是很困难。本文提出的FFT实现算法是基于FPGA之上的，算法完成对一个序列的FFT计算，完全由脉冲触发，外部只输入一脉冲头和输入数据，便可以得到该脉冲头作为起始标志的N点FFT输出结果。这个算法实现的可以是基2/4混合基FFT，也可以是纯基4FFT和纯基2FFT运算。
傅立叶变换和逆变换
对于变换长度为N的序列x（n）其傅立叶变换可以表示如下：
其中，W=exp(-2π/N)。当点数N较大时，必须进行分解，以短点数实现长点数的变换。而IDFT的实现在DFT的基础上就显得较为简单了：
由第二个可以看出，在FFT运算模块的基础上，只需将输入序列进行取共轭后再进行FFT运算，输出结果再取一次共轭便实现了对输入序列的IDFT运算，因子1/N对于不同的数据表示格式具体实现时的处理方式是不一样的。IDFT在FFT的基础上输入和输出均有一次共轭操作，但它们共用一个内核，仍然是十分方便的。
基4和基2
基4和基2运算流图及信号之间的运算关系如图1所示：、
以基4为例，令A=r0+j×i0；B=r1+j×i1；C=r2+j×i2；D=r3+j×i3；
Wk0=c0+j×s0：Wk1=c1+j×s1；Wk2=c2+j×s2；Wk3=c3+j×s3。分别代入图1中的基4运算的四个等式中有：
A'=[r0+(r1×c1-i1×s1)+(r2×c2-i2×s2)+(r3×c3-i3×s3)]+j[i0+(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)+(i3×c3+r3×s3)] 式(3)
B'=[r0+(i1×c1+r1×s1)-(r2×c2-i2×s2)-(i3×c3+r3×s3)]+j[i0-(r1×c1-i1×s1)-(i2×c2+r2×s2)+(r3×c3-i3×s3)] 式(4)
C'=[r0-(r1×c1-i1×s1)+(r2×c2-i2×s2)-(r3×c3-i3×s3)]+j[i0-(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)-(i3×c3+r3×s3)] 式(5)
D'=[r0-(i1×c1+r1×s1)-(r2×c2-i2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]+j[i0+(r1×c1-i1×s1)-(i2×c2+r2×s2)-(r3×c3-i3×s3)] 式(6)
可以看出有多个公共项和类似项，这一点得到充分利用之后可以大大缩减基4和基2运算模块中的乘法器的个数，如上面A'至D'的四个等式中的这三对类似项：(r1×c1-i1×s1)与(i1×c1+r1×s1)、(r2×c2-i2×s2)与(i2×c2+r2×s2)、(r3×c3-i3×s3)与(i3×c3+r3×s3)以高于输入数据率的时钟进行时分复用，最终可以做到只需要3个甚至1个复数乘法器便可以实现。
基2运算之所以采用图1-(b)中的形式进行基2运算，是为了将基本模块做成基4/2复用模块，它对于N有着更大的适用性和可借鉴性。在基4、基2和基4/2模块的基础上，构建基16、基8和基16/8模块有着非常大的意义。
算法实现
傅立叶变换实现时首先进行基2、基4分解，一般来说，如果算法使用基4实现，虽然使用的资源多了一些，但速度上的好处足以弥补。如果资源充足，使用基16、基8或基16/8复用模块，速度可以大大提高。一般FFT实现简单框图如图2所示。
在图2中，运算模块即为基2/4/8/16模块或它们的复用模块，Rom表中存储的是N点旋转因子表。控制模块产生所有的控制信号，存储器1和2的读写地址、写使能、运算模块的启动信号及因子表的读地址等信号。当然对于运算模块为基16/8复用模块时，控制模块就需要产生模式选择信号，如对于运算模块是基4/2模块时，该信号就决定了内部运算模块是进行基4运算还是基2运算。
存储器1作为当前输入标志对应输入N点数据的缓冲器，存储器2作为中间结果存储器，用于存储运算模块计算出的各Pass的结果。在图中的各种地址、使能和数据的紧密配合下，经过一定延时后输出计算结果及其对应指示标志。
图2只是一定点或浮点的FFT实现模块，如果是块浮点运算，则必须加入一个数据因子控制器，控制每遍运算过程中的数据大小，并根据各个Pass的乘性因子之和的大小，对最终输出进行大小控制，以保证每段FFT运算输出增益一致。
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